Последовательность Фибоначчи, проиллюстрированная природой
Последовательность Фибоначчи, известная всем по фильму "Код Да Винчи" - ряд цифр, описанный в виде загадки Итальянским математиком Леонардо Пизанским, более известным под прозвищем Фибоначчи, в XIII веке. Вкратце суть загадки:
Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется по достижению двухмесячного возраста.
В итоге получается такая последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Эту последовательность можно продолжать бесконечно долго. Её суть в том, что каждое следующее число является суммой двух предыдущих.
У этой последовательности есть ряд математических особенностей, которых обязательно нужно коснуться. Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Так отношение какого-либо члена последовательности к предшествующему ему колеблется около числа 1,618, через pаз то превосходя, то не достигая его. Отношение к следующему аналогично приближается к числу 0,618, что обратно пропорционально 1,618. Если мы будем делить элементы последовательности через одно, то получим числа 2,618 и 0,382, которые так же являются обратно пропорциональными. Это так называемые коэффициенты Фибоначчи.
К чему всё это? Так мы приближаемся к одному из самых загадочных явлений природы. Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое Сечение, которое не уступает по значимости теореме Пифагора.
Все окружающие нас предметы мы различаем в том числе и по форме. Какие-то нам нравятся больше, какие-то меньше, некоторые вовсе отталкивают взгляд. Иногда интерес может быть продиктован жизненной ситуацией, а порой красотой наблюдаемого объекта. Симметричная и пропорциональная форма, способствует наилучшему зрительному восприятию и вызывает ощущение красоты и гармонии. Целостный образ всегда состоит из частей разного размера, находящихся в определённом соотношении друг с другом и целым. Золотое сечение - высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе.
Если на простом примере, то Золотое Сечение - это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.
Если мы примем весь отрезок c за 1, то отрезок a будет равен 0,618, отрезок b - 0,382, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Отношение c к a равно 1,618, а с к b 2,618. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.
Разумеется есть золотой прямоугольник, золотой треугольник и даже золотой кубоид. Пропорции человеческого тела во многих соотношениях близки к Золотому Сечению.
Изображение: marcus-frings.de
Но самое интересное начинается, когда мы объединим полученные знания. На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы начинаем с двух квадратов первого размера. Сверху добавляем квадрат второго размера. Подрисовываем рядом квадрат со стороной, равной сумме сторон двух предыдущих, третьего размера. По аналогии появляется квадрат пятого размера. И так далее пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи.
Если мы проведём плавную линий через углы наших квадратов, то получим ни что иное, как спираль Архимеда, увеличение шага которой всегда равномерно.
Ничего не напоминает?
Фото: ethanhein on Flickr
И не только в раковине моллюска можно найти спирали Архимеда, а во многих цветах и растениях, просто они не такие явные.
Алое многолистный:
Фото: brewbooks on Flickr
Броколи романеско:
Фото: beart.org.uk
Подсолнечник:
Фото: esdrascalderan on Flickr
Сосновая шишка:
Фото: mandj98 on Flickr
А если взглянуть чуть подальше, то можно разглядеть последовательность Фибоначчи в недосягаемых галактиках.
И тут самое время вспомнить о Золотом Сечении! Ни одни ли из самых прекрасных и гармоничных творений природы изображены на этих фотографиях? И это далеко не все. Присмотревшись, можно найти похожие закономерности во многих формах.
Конечно заявление, что все эти явление построены на последовательности Фибоначчи звучит слишком громко, но тенденция на лицо. Да и к тому же сама последовательность далека от совершенства, как и всё в этом мире.
Есть предположение, что последовательность Фибоначчи - это попытка природы адаптироваться к более фундаментальной и совершенной золотосечённой логарифмической последовательности, которая практически такая же, только начинается из ниоткуда и уходит в никуда. Природе же обязательно нужно какое-то целое начало, от которого можно оттолкнуться, она не может создать что-то из ничего. Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Для определения любой последовательности достаточно знать три её члена, идущие друг за другом. Но только не для золотой последовательности, ей достаточно двух, она является геометрической и арифметической прогрессией одновременно. Можно подумать, будто она основа для всех остальных последовательностей.
Каждый член золотой логарифмической последовательности явлется степенью Золотой Пропорции (z). Часть ряда выглядит примерно так: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Если мы округлим значение Золотой пропорции до трёх знаков, то получим z=1,618, тогда ряд выглядит так: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Каждый следующий член может быть получен не только умножением предыдущего на 1,618, но и сложением двух предыдущих. Таким образом экспоненциальный рост в последовательности обеспечивается путем простого сложения двух соседних элементов. Это ряд без начала и конца, и именно на него пытается быть похожей последовательность Фибоначчи. Имея вполне определённое начало, она стремится к идеалу, никогда его не достигая. Такова жизнь.
И всё-таки, в связи со всем
увиденным и прочитанным, возникают вполне закономерные вопросы:
От
куда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся
сделать её идеальной? Было ли когда-то всё так, как он хотел? И если
да, то почему сбилось? Мутации? Свободный выбор? Что же будет дальше?
Спираль скручивается или раскручивается?
Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появится ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55...
Это «GreenWord» — оптимистичный журнал о мире.
Начать знакомство можно со случайной заметки, а лучше просто прокручивать вниз ▼
если наложить спираль Фобиачи на фотографию нашей галактики так, чтобы она проходила через место, где находится земля,то...вдруг так можно найти другие обитаемые планеты!
Любые физические закономерности вытекают из более общих закономерностей -- Постулатов (смотрите по имени-ссылке).
Дятлу: фотографии нашей галактики не существует, так как с Земли видно ее "ребро" (слышал про Млечный путь?). А вообще, для того, чтобы сделать снимок нашей галактики, нужно быть ЗА ЕЕ ПРЕДЕЛАМИ :-P
Расскажешь, как оно там, когда вернешься.
А где сказано, что речь идёт о НАШЕЙ галактике? Сейчас самое время задуматься, кто же тут всё-таки дятел...
Интересное явление.Наводит на мысль что всё живёт и развивается по одним и тем же законам. И мы состоим из тех же мельчайших частиц что и галактики за сотни световых лет.) Умный дятька фибоначи!
Один - это все. Все - это один (:
Гениально. И это в 13 веке. Получается, все во вселенной создано по единому замыслу или, говоря по-научному, по единому алгоритму, начиная от крохотного цветка и заканчивая целыми галактиками.Выходит, что и всамом деле существует высший разум.
А кто бы сомневался, что все создано по единому замыслу? Бог все законы установил, и они едины к любому проявлению жизни.
Как великолепно твроение господа Бога...его величие если мы своим простым умишком не можем до сих пор постич ту истину, постич те познания во всех областях, узновая всё новое и новое.Последовательность Фибоначи , это великолепное открытие..это словно искуство...во всём есть своя закономерность.
И если по размыслить Математика является одной из состовляющей нашего мира.главно состовляющей.
Только я не понял, когда Фибоначчи открыл эту последовательность, он же применил её к кроликам, он догадывался, что эта последовтельность будет отражать математическую модель мира (?)
Мне кажется, изначально он не думал над этим. Но потом наверняка озарило.
да Фибоначи просто Толант
Извините, не нахожу сходства спирали Архимеда ни с одной из фотографий. На фото "спирали" разрастаются монотонно, т.е. последовательость линейно возрастающаяся и Золотому Сечению не соответствует. Последовательность Фибоначчи возрастает гораздо быстрее. Для проверки, наложил иллюстрации спирали раковины и Архимеда друг на друга. Они не соответствуют в любых масштабах.
Хм, да, Роман, вы правы, но, может имелось ввиду не на столько точное совпадение, а приблизительное, чтобы показать примерно, а?...
Выходит, Бог есть!
Замет те, история нашей солнечной системы, и в частности планеты, так же развивается по закону Фебоначе, только скарее движется она в центр спирали а не из него. Это наводит на мысль о справедливости суждения, о том, что на земле было бесконечно много циливизаций, каждая из которых погибала в момент наивысшего расцвета. чем больше мы понимает в этом мире, тем более сильной угрозой мы являемся для себя. когда неизвестнось приходит в центр спирали мы исчезаем. Хотя и понимает за миг до этого сущность бытия.
Великолепный комментарий! Мне трудно сказать что-то по этому поводу, пожалуй не стану.
в тексте ошибочка:Отношение С к А равно 2,618, а С к В 1,618.
С к А будет 1.618,а B к С 2.618
Спасибо очень интересно!
Есть еще не менее интересные факты, в частности соотношение тонов в музыке например Шопена тоже соответствует последовательности Фибоначчи или соотношение колебаний биржевого курса на валютной бирже. Фибоначчи безусловно гений, но все это знали задолго до него. Мы исключительно в силу своего своего полного невежества думаем, что наши предки были темными. Они знали о мироздании гораздо больше чем мы сейчас себе можем представить и это знание передали нам. Отсюда появились Б-г, молитва, законы и все остальное. Поумнеем поймем, что они имели ввиду.
а в ебало?!
Пробовал подсчитать семечки в подсолнухе. Как я понял, в одной спирали их должно быть 13, а другой 21. Либо 34 и 55. Что-то не досчитался я до 21, получается 19.
Имеется ввиду не колличество семечек, а отношение 1-го ряда к предидущему, и в любом случае равно 1,618....
Но кто-то же или что-то создал Космос и запустил время! Ничего не может появиться из нечего!
Но я не думаю что Фибоначи что-то знал о вселенной в 13-м веке!
прекрасная статья! спасибо! Конечно же, Бог есть! "Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появится ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восемью, потом тринадцатью, 21, 34, 55."...все верно, ведь это загадки Творца!
Да, Бог действительно есть. Но все называют его по разному. Кто-то говорит "высший разум", "творец" ,а некоторые просто не верят в его существование. Но кто-то же создал все ЭТО!!! Кто-то постарался над этими замысловатыми алгоритмами и последовательностями!!! Кто-то дал нам жизнь!!! (Хотя в этой версии я сам уверен примерно на 75%)
мдаа... мы знаем что ничего не знаем))
Слишком коротка наша жизнь. За отведенный нам промежуток времени мы не можем объяснить даже половины того, что происходит с нами, не говоря уже о чем то большем.
Бога нет, есть те кто в него верят. (Мое личное мнение которое со временем меняется в ту или иную сторону...)
Главное,что очень красиво смотрится !!
Совсем скоро человечество уточнит законы природы и сможет увидеть нашу галактику со стороны.
надо на это смотреть так - в числе 1,618 проявляется работа некоего механизма, который лежажит в основе устройства этого мира.
Это как жужание - признак работы стиральной машинки :) только вот в отличии от стиралки о нём мы пока ещё ничего не знаем .... или знаем, но пока ещё не осознали что знаем...
Жаль, что науку сейчас двигают только деньги. Мое почтение тем единицам, кто занимется наукой питаясь голым энтузиазмом и помоги им Господь.
Последовательность Фибоначчи в расшифрованном завещании Леонардо да Винчи на сайте: www.istina-fi.ryazan.ru
Ужас, 90% комментариев изобилуют грамматическими ошибками. Господа ученые, 3.14здец!
Да ну вот иди и получи награду по алемпиаде по граматике
Гармоничными в Природе могут быть не только отношения "золотого сечения" о которых речь шла выше, но и симметричные отношения (1 : 1), и более резко асимметричные (2 : 1; 3 :1 и т.п.). Например, по законам наследственности Г. Менделя горох зелёный и черный появляется в соотношении 3 : 1. Длинная сторона Парфенона относится к короткой как 2 : 1, хотя это здание считается одним из наиболее гармоничных в греческой архитектуре. Природа не любит однообразия.
Наличие в ней каких-либо закономерностей вовсе не говорит о существовании Бога или Высшего Разума. Природа вечна и бескаонечна, ее никто не создавал.
Да, конечно никто не создавал! В таком случае следует также признать что и дома, в которых мы живём, одежду, которую мы носим и другие предметы в нашей повседневной жизни, тоже никто не создавал. Они сами по себе появились!!! Или... Что меня всегда веселило "научностью"... Возникли в результате Большого Взрыва!!!
Влад, полностью поддерживаю!Хороший пример про дом!Это логично!
Отлично! Значит, все мы Боги - творцы домов, хлебов и т.п. А где-то сидит еще с белой бородой и творит для разнообразия своей жизни весь Мир. Какая же у него была скучная жизнь до этого его Творения!
Спасибо, понравилось.
Правда на самом деле речь идет только о логарифмической спирали. Спираль Архимеда не имеет отношения к предмету.
Хотя раньше их тоже путали - см. Забавные факты в http://ru.wikipedia.org/wiki/Логарифмическая_спираль
Спасибо! Главное, что в Природе таких закономерных спиралей в принципе должно быть бесчисленное множество.
Да, речь действительно идёт о логарифмической спирали. Точнее, о её частном случае - спирали Фибоначчи (собственно, она и изображена на картиках).
А что касается того, что "когда Фибоначчи открыл эту последовательность, он же применил её к кроликам, он догадывался, что эта последовтельность будет отражать математическую модель мира" и "Мне кажется, изначально он не думал над этим. Но потом наверняка озарило", то замечу вот что: Фибоначчи на самом деле не открыл эту последовательность. Он был сыном торговца, и потому часто ездил по миру, в частности, в Китай и арабские страны, где и нахватался знаний по математике, а потом завёз их в Европу. ОН ВООБЩЕ ЭТОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НЕ ЗАНИМАЛСЯ!!!!111 Это уже потом, лет этак через пятьсот, подобные ряды подробно исследовал француз Эдуард Люка.
за ранее сорри за грам.ошибки и не совсем математический язык...
Картинки живой природы показывают , что существует спиральность, но не конкретно, что она соответствует ряду Фибоначчи, т.к. при накладывание спиралей в Фотошопе оказалось, что там совсем разные скорости закручивания(соответственно, как я понимаю, другие коэффициенты)... логарифмическая спираль действительно очень близка к моллюску, но к галактике уже не совсем и к Капусте тоже ни одна спираль не подходит...
Но как я понимаю...половина высказывающихся пытаются этим доказать , что Бог есть...но, мне кажется, доказывай-не доказывай Он все равно есть...и все в мире взаимосвязано и едино...по ряду Фибоначчи или по Золотому сечению..какая разница...
И для того чтобы верить, что он Есть...не нужно ничего доказывать!
Но математика это конечно красиво :)
Возможно я что-то не так делала..по поводу накладывания спиралей...если что объясните в чем я не права. очень интересно в этом разобраться...Всем спасибо
Милая Юля, "блажен кто верует, тепло ему на свете". Но людям с пытливым умом нужны доказательства существования Бога. Они сами ищут законы устройства Мира. Нет достоверных доказательств, что у Вселенной было какое-то начало. Теория Большого взрыва сегодня опровергается множеством научных фактов (а за нее-то и пытались ухватиться богословы). Да и просто здравый смысл ставит вопросы: Если все создал Бог, то - Зачем, для чего создал (стало скучно?)?, Из чего создал (из пустоты - шуньяты - у даосов?)? Что было до создания Мира?
ЛОГИЧНЕЕ предположить, что Мир никто не создавал - он был и будет вечно, и он бесконечен. Из Ничего не может возникнуть Что-то.Да, в нём есть свои общие законы, их интересно изучать: закон многообразия предметов (Мир никогда не был однообразным, гомогенным), закон растяжения и сжимания в отдельных частях мира (как у индийцев в теории кальп), закон гармонии (стремления любых предметов к оптимальному соотношению частей и ритму функционирования), и т.п.
Так что скучно принимать готовую картину мира, которую жестко предлагают различные религии (Джордано Бруно сожгли католики за самостоятельные поиски и новую картину мира, старообрядцев у нас сжигали и топили в Волге). Давайте будем созерцать Мир и стараться глубже вникать в его законы. Это интереснее!
Мне это тоже очень интересно...находить закономерности...и реалии...пытаться что-то воссоздать...
было интересно почитать те законы, которые вы указали, хорошо бы т.п. продолжить...могу добавить фрактальность, голограммность мира
Просто не совсем понимала, возгласы людей после прочтения этой статьи...Бог есть!?
Юля, вы меня порадовали и удивили! Очень мало девушек думают над устройством Мира и жизни. Вы - приятное исключение. Обратитесь ко мне по моему эл. адресу: oleg1748@mail.ru , и я пришлю вам свои размышления на эту тему - несколько страниц. А вы мне пришлёте свои думы об этом.
Интересует вопрос, есть ли конец вселенной или она бесконечна?
Я как сварщик должен это знать.
И есть и Нет ))
Вообще, конца нет, так как энергии бесконечны. Но субъективная вселенная ограничена восприятием ))
Чуть более по мальчишески::: (:
Вообще ВСЁ бесконечно. Ни у одного предмета нет чёткой границы, определяющей его начало и конец. Это касается и вселенной.
Наше же восприятие улавливает границы вещей, ибо то что находится за их пределами мы не в состоянии разглядеть. Тоже самое и со вселенной. Её границей можно условно считать область, свет от которой успел за время её существования долететь до наших глаз и приборов. Это касается не только видимого света, но и любых других волн, распространяющихся в любом случае с конечной скоростью (скоростью света).
По простому, для нас вселенная - это шар, который, как и наше восприятие, постоянно расширяется. Думается, когда-то, может быть в начале времён, он был совсем маленький. А теперь вот разросся, открыв для нас области когда-то невидимой вселенной.
Спасибо, Пиноккио, За обстоятельный ответ. Т.е. у вас получается, что видимая нами Вселенная - расширяющийся шар. Но если говорить о Вселенной в принципе, с точки зрения логики и здравого смысла, то это видимое будет расширять до бесконечности. Мне нравится ваш посыл - расширяющаяся Вселенная как субъективно расширяющаяся. А реально, мне кажется, она в одном месте разбегается, в другом своем месте - сжимается, и так вечно.
Ничего не могу сказать по поводу реальной вселенной, ведь объективности в ней нет по сути никакой. Даже самые авторитетные научные постулаты всего-лишь кажутся людям. "Кажутся" в том смысле, что "Мне кажется, что вселенная ведёт себя так-то...". Мне трудно представить себе то место, в котором вселенная сжимается и что это за процесс вообще. Но если что-то где-то расширяется, то что-то ещё где-то ещё должно и сжиматься.
А вообще в продолжение темы видимой вселенной пришла в голову такая мысль. Скажем, где-то за нашим световым пределом существует цивилизация со своей расширяющейся видимой вселенной. Это как бы два изолированных друг от друга увеличивающихся шара. Что произойдёт, когда они рано или поздно соединяться? Контакт?
Вселенная одна. А конец её - т.н. "Большой Разрыв"...
Все, что может произойти, произойдет по единым законам Вселенной. Есть только одна Вселенная, все ее части - это ее части. И Видимая В. - это лишь часть бесконечной в пространстве и времени Вселенной.
Интересно подумать над тем, как общаться с инопланетянами, которые, допустим, скоро посетят нашу Землю.
я бы предложила начать общение с искреннего выражения дружбы )))
это тоже единый язык Вселенной ))
Рад общению на общечеловеческом языке дружбы и сотрудничества!
Красиво смотрится!
Вы правы, Flami, язык дружбы - это космический язык, он должен быть понятен в любом уголке Мира.
сколько кругов радиуса 1 надо взять чтобы покрыть ими квадрат со стороной 2?
клас
спираль клас
Я мог бы говорит про золотое сечение, про кроликов, приводить примеры, но я очень слаб в мыслях по сравнению с тем что написано в Коране, на все ваши вопросы есть ответы Коране.А конец есть всему на этом свете, кроме Творца. А если вы не знаете не говорите нет это будет лучше для вас.
(n*1000)-k=s
где n=положительное число из золотого сечения к=число из фибоначи s=число равное 1000ному сначению фибаначи
(6.854*1000)-89=6765
...теперь элементарно доказываем, что 2+2=5! Если сложить четыре фундаментальных элемента Вода и Земля + Воздух и Огонь + независимо рождается пятый элемент, без которого не возможно существование четырех слагаемых - это Любовь!)))
до прочтения статьи, ознакомилась с комментариями, думала развернется бой атеистов и теистов, но выражения мнений атеистов были лояльны по отношению к религии, но во мне всё бушевало после комментария про Коран!!!!Нельзя доказать отсутствия Творца, так же как нельзя доказать его наличия. Давайте будем агностиками, стремящимися утверждать что Бога нет.
Простота и гениальность последовательности фибоначи не может не поражать! Развитие в соотвецтвии с этой последовательностью можно объяснить стремлением к наименьшей энергозатратности т.е. к рациональному ипользованию имеющихся ресурсов. Всё достаточно логично:)
Если человек не может этого обьяснить или понять то это не значит что этого нет,в мире ещё масса загадок которые мы ни когда не перестанем разгадывать.чичловой ряд Фибоначи был известен ещё задолго до его рождения например при строительстве пирамид в Египте но именно Фибоначи дол ему более подробное описание.
Посмотрите на фаланги своих пальцев одна относится к другой из отношения 1.618. или ушная раковина человека тоже в форме спирали напоминающей морскую раковину таких примеров массы но вот только как использовать их во благо например для прогнозирования цен на Forex я пока не знаю)))